فعالیت ۱ تا ۴ حد توابع جزء صحیح حسابان یازدهم
۱. نمودار تابع $f(x) = [x]$ را در فاصله $[-۱, ۲]$ رسم کنید.
۲. اگر $x$ از طرف چپ به عدد ۱ نزدیک شود، آن‌گاه مقادیر $f(x)$ به عدد $\dots$ نزدیک می‌شوند؛ بنابراین:
$$\lim_{x \to ۱^-} f(x) = \dots$$
۳. حد راست تابع $f$ در نقطه $x = ۱$ را به دست آورید.
۴. آیا تابع $f$ در نقطه $x = ۱$ حد دارد؟ چرا؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ تا ۴ صفحه ۱۲۶ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت مفهوم **حدود یک طرفه** را در یک **نقطه پرش** (نقطه صحیح) تابع **جزء صحیح** بررسی می‌کند. 🪜
---
### ۱. رسم نمودار تابع $f(x) = [x]$ در بازه $[-۱, ۲]$
تابع $\mathbf{f(x) = [x]}$ در بازه‌های $[n, n+۱)$ ثابت و برابر $n$ است.
* **در بازه $[-۱, ۰)$**: $f(x) = [-۱] = -۱$ (شامل $(-۱, -۱)$ تا $(۰, -۱)$ توخالی)
* **در بازه $[۰, ۱)$**: $f(x) = [۰] = ۰$ (شامل $(۰, ۰)$ تا $(۱, ۰)$ توخالی)
* **در بازه $[۱, ۲]$**: $f(x) = [۱] = ۱$ (شامل $(۱, ۱)$ تا $(۲, ۱)$ پر)
$]
---
### ۲. حد چپ در $x = ۱$
* **مفهوم**: وقتی $x$ از سمت چپ (یعنی با مقادیر $\mathbf{x < ۱}$) به ۱ نزدیک می‌شود، $x$ در بازه $\mathbf{[۰, ۱)}$ قرار دارد.
* **محاسبه**: در این بازه، ضابطه $f(x) = [x] = ۰$ است.
* **نتیجه**: مقادیر $f(x)$ به عدد $\mathbf{۰}$ نزدیک می‌شوند؛ بنابراین:
$$\mathbf{\lim_{x \to ۱^-} f(x) = ۰}$$
---
### ۳. حد راست در $x = ۱$
* **مفهوم**: وقتی $x$ از سمت راست (یعنی با مقادیر $\mathbf{x > ۱}$) به ۱ نزدیک می‌شود، $x$ در بازه $\mathbf{[۱, ۲)}$ قرار دارد.
* **محاسبه**: در این بازه، ضابطه $f(x) = [x] = ۱$ است.
* **نتیجه**:
$$\mathbf{\lim_{x \to ۱^+} f(x) = ۱}$$
---
### ۴. آیا تابع $f$ در نقطه $x = ۱$ حد دارد؟ چرا؟
* **شرط وجود حد**: حد در یک نقطه زمانی وجود دارد که $\mathbf{\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)}$ باشد.
* **مقایسه**:
$$\lim_{x \to ۱^-} f(x) = ۰ \quad \text{و} \quad \lim_{x \to ۱^+} f(x) = ۱$$
* **نتیجه**: $\mathbf{خیر}$، تابع $f$ در نقطه $x = ۱$ حد **ندارد**.
* **دلیل**: چون **حد چپ** (۰) و **حد راست** (۱) تابع در $x=۱$ **مساوی نیستند**، حد دو طرفه در این نقطه (نقطه پرش) وجود ندارد.
